∞ Бесконечный тренажёр · 7 класс

Разложение на множители: вынесение и группировка

Веди пальцем вбок и вверх: модель крутится · двумя пальцами: ближе · двойное нажатие: вид сверху

Свой пример🍔 бургеров6🥤 колы9

Множителито, что перемножают: в 3(2x + 3y) множители 3 и (2x + 3y)

Общий множительна него делится каждое слагаемое: 6x : 3 = 2x и 9y : 3 = 3y

Разложить на множителизаписать сумму как произведение: 6x + 9y = 3(2x + 3y)

Главное правило

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения нескольких множителей (чисел, одночленов или многочленов). Общий множитель это то, на что делится каждое слагаемое. Его выносят за скобку, а в скобке остаются частные от деления.

ab + ac = a(b + c)Вынесение общего множителя за скобки. На подносах: столько подносов, сколько показывает общий множитель, на каждом одно и то же.

x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)Общий множитель может быть скобкой. На шоколадке: два куска с общей стороной сложились в одну плитку.

ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)Способ группировки. На шоколадке: сначала пары, потом одна плитка из четырёх кусков.

Почему 6x + 9 ≠ 3(2x + 9)

Множитель 3 умножает КАЖДОЕ слагаемое в скобке. 3(2x + 9) = 6x + 27, а не 6x + 9. Нужно было поделить и 9: 9 : 3 = 3.

Почему 4x + 4 ≠ 4(x)

4 : 4 = 1, слагаемое не пропадает. 4(x) = 4x, а нужно 4(x + 1) = 4x + 4.

Как записать в тетради

1Найди наибольший общий множитель: у 6 и 9 это 3.
2Раздели каждое слагаемое на 3: 6x : 3 = 2x, 9 : 3 = 3.
3Запиши 3(2x + 3) и проверь: раскрой скобки.

Как выбрать способ

1Есть множитель, на который делится каждое слагаемое? Вынеси его, причём наибольший: и число, и общие буквы.
2Общего множителя нет, а слагаемых четыре? Раздели их на пары так, чтобы после вынесения в парах получилась одинаковая скобка.
3Получилась сумма с одинаковой скобкой? Вынеси скобку. Ответ должен быть произведением.
4Проверь: раскрой скобки, должен получиться исходный многочлен.

Если общего множителя у всех слагаемых нет, как в ax + ay + bx + by, помогает группировка.

Как применить к любым выражениям

12a + 18

Шаг 1 из 4. Ищем общий множитель: 12 и 18 делятся на 6.
Шаг 2 из 4. Делим каждое слагаемое: 12a : 6 = 2a, 18 : 6 = 3.
Шаг 3 из 4. Записываем: 6(2a + 3).
Шаг 4 из 4. Проверка при a = 2: 12 · 2 + 18 = 42 и 6 · (2 · 2 + 3) = 42. ✓

5y + 5 (ловушка)

Шаг 1 из 4. Общий множитель 5: он делит оба слагаемых.
Шаг 2 из 4. 5y : 5 = y и 5 : 5 = 1.
Шаг 3 из 4. Ловушка: 5 : 5 = 1, единица остаётся. Не 5(y), а 5(y + 1).
Шаг 4 из 4. Проверка при y = 2: 5 · 2 + 5 = 15 и 5 · (2 + 1) = 15. ✓ А 5 · 2 = 10 не подходит.

3(x − 2) + y(x − 2)

Шаг 1 из 4. Что стоит в обоих слагаемых? Скобка (x − 2).
Шаг 2 из 4. Выносим её за скобки: (x − 2)(…).
Шаг 3 из 4. В другую скобку идёт то, что стояло перед скобками: 3 + y. Получилось (x − 2)(3 + y).
Шаг 4 из 4. Проверка при x = 5, y = 4: 3 · 3 + 4 · 3 = 21 и 3 · 7 = 21. ✓

2a + 2b + ac + bc

Шаг 1 из 4. Общего множителя у всех четырёх нет. Группируем в пары: (2a + 2b) + (ac + bc).
Шаг 2 из 4. Из каждой пары выносим множитель: 2(a + b) + c(a + b).
Шаг 3 из 4. Ловушка: это ещё сумма. Общую скобку (a + b) выносим дальше: (a + b)(2 + c).
Шаг 4 из 4. Проверка при a = 1, b = 2, c = 3: 2 + 4 + 3 + 6 = 15 и 3 · 5 = 15. ✓

6x² − 9x (общая буква)

Шаг 1 из 4. Числа 6 и 9 делятся на 3, буква x есть в обоих слагаемых. Общий множитель 3x.
Шаг 2 из 4. Делим каждое слагаемое: 6x² : 3x = 2x, 9x : 3x = 3.
Шаг 3 из 4. Записываем 3x(2x − 3). Ловушка: минус между слагаемыми остаётся в скобке.
Шаг 4 из 4. Проверка, раскрываем скобки: 3x · 2x − 3x · 3 = 6x² − 9x. ✓

ab − ac − 2b + 2c (минус в группе)

Шаг 1 из 4. Общего множителя у всех четырёх нет. Группируем: (ab − ac) + (−2b + 2c).
Шаг 2 из 4. Из второй пары выносим −2, тогда в скобке b − c: a(b − c) − 2(b − c). Если вынести 2, получится (−b + c), и общей скобки не будет.
Шаг 3 из 4. Выносим общую скобку: (b − c)(a − 2).
Шаг 4 из 4. Проверка при a = 5, b = 4, c = 1: 20 − 5 − 8 + 2 = 9 и 3 · 3 = 9. ✓

Бесконечный тренажёр

👪 Подсказка для взрослого

Где это бывает в жизни

Шаг 0 из 3

Для мам и пап

Главная ошибка: делят на общий множитель не все слагаемые. Из 6x + 9 получается 3(2x + 9).

3 минуты с бумагойПоложите на стол 6 ложек и 9 салфеток. Попросите разложить их на 3 одинаковые кучки: в каждой окажется 2 ложки и 3 салфетки. Если x это ложка, а y салфетка, то 6x + 9y = 3(2x + 3y).

Что спросить«Сколько раз это число помещается в каждом слагаемом?» Не говорите «просто вынеси»: это учит повторять, а не понимать.

Проверка числамиПодставьте одно и то же число вместо буквы в обе части. Если результаты разные, ответ точно неверный. Если совпали, это ещё не доказательство: надёжнее раскрыть скобки и сравнить с исходным многочленом.

Тема понятна, когда ребёнок

сам говорит, почему в скобке остаётся 1 в 4x + 4;
проверяет ответ раскрытием скобок;
понимает, что после группировки остановиться на сумме нельзя.

Что дальше

БылоУмножение многочлена на многочлен: раскрытие скобок Ты здесьРазложение на множители: вынесение, группировка ДальшеФормулы сокращённого умножения

Все тренажёры →

Частые вопросы

Что значит разложить многочлен на множители?

Записать его в виде произведения нескольких множителей. Например, 6x + 9 = 3(2x + 3). Проверить можно раскрытием скобок: получится исходный многочлен.

Как найти общий множитель?

Найдите наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты, и добавьте буквы, которые есть в каждом слагаемом, в наименьшей степени. У 12x² + 18x это 6x.

Почему при вынесении остаётся 1?

В 4x + 4 второе слагаемое равно множителю: 4 : 4 = 1. Поэтому 4x + 4 = 4(x + 1). Слагаемое не пропадает.

Когда нужна группировка?

Когда общего множителя у всех слагаемых нет, но слагаемые можно разбить на пары с общими множителями. После вынесения из пар обычно появляется общая скобка.

Что делать со скобками (x − y) и (y − x)?

Они противоположны: y − x = −(x − y). Например, при x = 5, y = 2 получаем y − x = −3 и −(x − y) = −3. Знак меняют у одной из скобок.

Всегда ли можно разложить многочлен?

Не всегда. У 3x + 7 коэффициенты 3 и 7 не имеют общего делителя, кроме 1, общей буквы тоже нет, а группировать нечего. Вынесением и группировкой такой многочлен не раскладывается, его оставляют как есть.