Числовые наборы: среднее арифметическое, медиана и размах
Слей лимонад из всех стаканов в один кувшин
Пояснения
Числовой набор это несколько чисел, собранных вместе: оценки за четверть, температура по часам, лайки под постами. Числа в наборе могут повторяться, а порядок записи не важен.
Почему кувшин даёт среднее. Сливаем лимонад из всех стаканов в кувшин: это сумма. Разливаем его поровну по всем стаканам: это деление на количество. Лимонад никуда не пропадает, поэтому уровень в каждом стакане после этого и есть среднее.
Почему стаканы прямые. Стаканы одинаковые и с прямыми стенками, поэтому по уровню в сантиметрах честно видно, сколько в стакане лимонада. В стакане, который расширяется кверху, верхний сантиметр вмещает больше нижнего, и уровень обманывал бы.
Почему нет льда. Лёд занимает место: лимонад поднялся бы, и стакан показал бы больше, чем есть. Трубочка полая, лимонад заходит внутрь неё, поэтому уровень она почти не меняет.
Откуда капли на стаканах. Лимонад холодный, стенка рядом с ним тоже. Воздух у холодного стекла остывает, и водяной пар из него оседает каплями. Поэтому капли только там, где за стенкой лимонад.
Свой пример. Потяни лимонад в стакане вверх или вниз, чтобы поменять число. Кнопками − и + меняется количество стаканов.
Как смотреть. Крути сцену пальцем по пустому месту, приближай кнопками + и −. Двойное нажатие показывает вид спереди: там высоты видны без искажений.
Главное правило
Три числа, и каждое отвечает на свой вопрос о наборе.
Среднее арифметическое
Сколько было бы в каждом стакане, если разлить поровну.
Медиана
Кто стоит в середине строя. Если чисел чётное количество, медиана равна среднему арифметическому двух чисел посередине.
Размах
На сколько самый высокий уровень выше самого низкого.
Почему медиана набора 2, 9, 3, 7, 4 не равна 3
Числа можно записать в любом порядке, а медиана от порядка записи не зависит. Поэтому сначала расставляем по возрастанию: 2, 3, 4, 7, 9. Посередине 4. Проверка: меньше 4 два числа (2 и 3), больше 4 тоже два (7 и 9).
Как записать в тетради
Если чисел чётное количество, посередине стоят два. У набора 2, 3, 7, 9 медиана (3 + 7) : 2 = 5.
Бесконечный тренажёр
Два шага в каждом примере. Ошибся: покажем на стаканах, где именно.
📖 Разбор для тебя
👪 Подсказка для взрослого
Спросите: «Сколько было бы в каждом стакане, если разлить поровну?» Пусть ребёнок сначала сложит все числа, а потом разделит сумму на их количество.
Где это бывает в жизни
Три настоящие ситуации. Каждая сама проигрывается, когда до неё долистаешь.
Для мам и пап
Главная ошибка: медиану берут посередине записи, не расставив числа по порядку. Вторая: путают медиану со средним.
3 минуты со стаканами
Налейте воду в 3 одинаковых ровных стакана на разную высоту и измерьте линейкой. Слейте всё в кувшин и разлейте обратно так, чтобы уровни сравнялись. Новый уровень и есть среднее: он равен сумме трёх уровней, делённой на 3. Проверьте линейкой.
Что спросить
«Сколько было бы у каждого, если поделить поровну?» «Кто стоит в середине строя?» «На сколько самый большой больше самого маленького?» Не говорите «медиана это число посередине»: без слов «упорядоченного набора» правило неверное.
Проверка числами
Среднее: отклонения от него в сумме дают 0. У набора 2, 9, 3, 7, 4 и среднего 5: −3 + 4 − 2 + 2 − 1 = 0. Размах: наименьшее + размах = наибольшее, 2 + 7 = 9.
Тема понята, когда ребёнок решает 5 примеров подряд без подсказок и сам объясняет, почему у лайков 35, 38, 40, 41, 45, 52 и 3000 медиана честнее среднего.
Что дальше
Частые вопросы
Что такое числовой набор?
Это несколько чисел, собранных вместе: оценки за четверть, температура по часам, лайки под постами. Числа в наборе могут повторяться. Порядок записи не влияет ни на среднее, ни на медиану, ни на размах.
Чем среднее арифметическое отличается от медианы?
Среднее показывает, сколько пришлось бы на каждого, если всё разделить поровну, и учитывает каждое число. Медиана это число посередине упорядоченного набора: одно очень большое число почти её не сдвигает. У лайков 35, 38, 40, 41, 45, 52 и 3000 среднее около 464, а медиана 41.
Как найти медиану, если чисел чётное количество?
Расставь числа по возрастанию. Посередине окажутся два числа, медиана равна их среднему арифметическому. У набора 2, 3, 7, 9 медиана (3 + 7) : 2 = 5. Такого числа в наборе может и не быть.
Нужно ли упорядочивать набор, чтобы найти среднее или размах?
Для среднего нет: сумма не зависит от порядка слагаемых. Для размаха достаточно найти самое большое и самое маленькое число. А для медианы упорядочить нужно обязательно.
Может ли среднее не совпадать ни с одним числом набора?
Да. У набора 2, 9, 3, 7, 4 среднее 5, а числа 5 в наборе нет. Среднее бывает и дробным: у набора 1, 2 оно равно 1,5.
Может ли размах быть равен нулю?
Да, если все числа набора одинаковые: тогда наибольшее равно наименьшему. Отрицательным размах не бывает, потому что наибольшее число не меньше наименьшего.
Тренажёр сделали методисты школы «да, математика»
Обновлено 30 октября 2026