Формула сокращённого умножения это готовый ответ для умножения, которое встречается очень часто. Скобки уже перемножили за тебя: подставь свои числа и сразу пиши результат.
Квадрат суммы (a + b)²: сначала сложили, потом возвели в квадрат. Не путай с суммой квадратов a² + b²: там сначала возвели, потом сложили.
Шаг 1 из 4Перетащи синий квадрат a² в рамку
Рамка квадратная, её сторона a + b. Значит, площадь рамки (a + b)², столько клеток в неё помещается.
Ту же рамку ровно закрывают 4 детали: квадрат a², квадрат b² и две полосы ab. Площадь не меняется от того, на какие части её разрезали, поэтому (a + b)² = a² + 2ab + b².
Рамка показывает положительные a и b. Формула верна для любых чисел и выражений: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b².
Проверим числами: (3 + 4)² = 7² = 49, а 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Не хватает 49 − 25 = 24: это две полосы 3 · 4 = 12. Удвоенное произведение 2 · 3 · 4 = 24 и есть пропажа.
Проверим числами: (7 − 3)² = 4² = 16, а 7² − 3² = 49 − 9 = 40.
(a − b)² это квадрат разности: сначала вычитаем, потом возводим в квадрат. a² − b² это разность квадратов: сначала возводим, потом вычитаем. Порядок действий разный, поэтому и ответы разные.
a и b это не только числа. Это любые выражения: x, 2x, 3. Главное, найти, что здесь a, а что b.
Для суммы квадратов a² + b² похожей формулы нет: её в произведение так не превратить.
Иди по шагам 1-5. Шаг понят, когда 3 примера подряд решены с первой попытки.
Спросите: «Сколько полос 5 на 2 в рамке?» Две: справа и снизу. Отсюда 2 в формуле.
Платформа 12 на 12 блоков травы. В углу копаем бассейн 8 на 8. Сколько блоков травы останется?
Вокруг бассейна две полосы шириной 4: длиной 12 и длиной 8. Вместе 4 · (12 + 8) = 4 · 20 = 80.
Главная ошибка: (a + b)² = a² + b². Ребёнок теряет удвоенное произведение 2ab.
Нарисуйте на листе в клетку квадрат 7 на 7 и разделите его линиями на 5 и 2. Пусть ребёнок посчитает клетки в частях: 25, 10, 10 и 4. Вместе 49 = 7².
«Сколько полос a на b в квадрате со стороной a + b?» Ответ: две. Не говорите «просто запомни формулу»: пусть ребёнок покажет полосы на рамке.
Подставьте a = 1 и b = 1: (1 + 1)² = 4, а 1² + 1² = 2. Значит, a² + b² не подходит, а 1 + 2 + 1 = 4 подходит.
Тема понята, когда ребёнок без подсказки раскрывает (x + 3)², (x − 4)² и (x − 5)(x + 5) и объясняет, откуда берётся 2ab.
Это готовые результаты умножений, которые встречаются особенно часто: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², (a − b)(a + b) = a² − b². С ними не нужно каждый раз раскрывать скобки, поэтому умножение получается короче.
Квадрат со стороной a + b складывается из четырёх частей: a², b² и двух прямоугольников a · b. В сумме a² + b² этих двух прямоугольников нет. Проверка: (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25.
Квадрат разности (a − b)²: сначала вычитают, потом возводят в квадрат, получается a² − 2ab + b². Разность квадратов a² − b²: сначала возводят в квадрат, потом вычитают, и это равно (a − b)(a + b). Пример: (7 − 3)² = 16, а 7² − 3² = 40.
Из квадрата a² вычитают две полосы a · b. Обе полосы проходят через уголок b на b, поэтому уголок вычли дважды. Один раз его возвращают: + b². Проверка: (7 − 2)² = 25 и 49 − 28 + 4 = 25.
Нет, для любых чисел и выражений. Их доказывают раскрытием скобок: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Рамка делает это доказательство видимым для положительных a и b.
Чтобы считать быстрее и без ошибок: 41² = (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681, а 31 · 29 = (30 + 1)(30 − 1) = 900 − 1 = 899. Дальше по ним упрощают выражения и раскладывают многочлены на множители.
Тренажёр сделали методисты школы «да, математика». Обновлено 3 ноября 2026.