Соседний случай. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны: с ней они образуют односторонние углы 90° + 90° = 180°.
1. Найди углы у разных точек: один у A, другой у B. Углы у одной точки (смежные, вертикальные) для признака не годятся.
2. Оба угла между a и b: по разные стороны от c это накрест лежащие (нужно равенство), по одну сторону это односторонние (нужна сумма 180°).
3. Один угол между a и b, другой снаружи, по одну сторону от c: соответственные (нужно равенство).
4. Если пары нет, замени угол вертикальным (он равен) или смежным (180° минус угол).
Параллельные прямые: две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Обозначают a ∥ b. Отрезки параллельны, если лежат на параллельных прямых.
Секущая: прямая c, которая пересекает прямые a и b в двух точках. У этих точек получаются 8 углов.
Накрест лежащие углы: оба между a и b, по разные стороны от секущей (пары ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6).
Соответственные углы: по одну сторону от секущей, один между a и b, другой снаружи (пары ∠1 и ∠5, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠8).
Односторонние углы: оба между a и b, по одну сторону от секущей (пары ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6).
Признак параллельности: условие, по которому можно доказать, что прямые параллельны.
Спросите: «Где стоят углы: оба между a и b? По разные стороны от секущей?» Если да, это накрест лежащие, и для a ∥ b они должны быть равны.
Главная ошибка: у односторонних углов ребёнок видит 65° и 65° и пишет «a ∥ b», а накрест лежащие путает с соответственными, если рисунок повёрнут.
Тема понята, когда ребёнок на повёрнутом рисунке сам называет пару углов, говорит, что для неё нужно (равенство или сумма 180°), и решает 5 примеров вперемешку.
| Этап | Думает | Пишет | Где в тренажёре |
|---|---|---|---|
| 1. Параллельность на глаз | «На рисунке не пересекаются, значит параллельны» | «a ∥ b, видно по рисунку» | Герой: доска показывает, где встретятся прямые, даже за её краем |
| 2. Названия пар | «Все углы между прямыми накрест лежащие» | ∠3 и ∠6 накрест лежащие | Шаг 1 героя: ребёнок сам выбирает угол у точки B; шаг 1 тренажёра |
| 3. Повёрнутый рисунок | «Накрест лежащие выглядят как буква Z» | Не узнаёт пару на наклонном рисунке | Уровень 2: рисунок повёрнут и отражён |
| 4. Односторонние | «Все признаки про равенство» | ∠4 = ∠5 = 65° → a ∥ b | Герой «Односторонние»: сумма 180°; вкладка 3 |
| 5. Через вертикальные и смежные | «Возьму ∠7, ведь прямые параллельны» | ∠3 = ∠7 без причины | Уровень 3: шаг «Чему равен угол?» |
| 6. Узнаю пару сам и доказываю | «Какая пара? Что для неё нужно?» | Запись в 3 строки с проверкой | Вкладка 4 «Вперемешку» и вкладка 5 «Проверка» |
Перепутаны названия пар углов. В тетради: «∠3 и ∠5 соответственные». Почему: пары запоминают по картинке «буква Z, буква F», а на повёрнутом рисунке картинка не узнаётся. Что сделать: попросите проговорить два вопроса: оба угла между a и b или нет? по одну сторону от секущей или по разные?
Односторонние считают равными. В тетради: ∠4 = ∠5 = 65°, значит a ∥ b. Почему: правило «равны» переносят с накрест лежащих на односторонние. Что сделать: попросите сложить: 65° + 65° = 130°. Для односторонних нужна сумма 180°.
Для накрест лежащих или соответственных ищут сумму 180°. В тетради: 70° + 110° = 180°, значит a ∥ b. Почему: правило суммы односторонних переносят на другие пары. Что сделать: спросите: «Какая это пара? Что для неё нужно: равенство или сумма?»
Решают на глаз. В тетради: «на рисунке не пересекаются». Почему: рисунок ограничен краем листа, а разница в 3° почти не видна. Что сделать: спросите: «Какие углы равны (или дают 180°)? Каким признаком ты пользуешься?»
Дополняют до 90° вместо 180°. В тетради: ∠5 = 90° − 70° = 20°. Почему: путают смежные углы (180°) с дополнением до прямого угла. Что сделать: попросите показать на рисунке развёрнутый угол: 180°.
Путают вертикальные и смежные углы. В тетради: ∠1 = 37°, значит ∠3 = 143°. Почему: не различают: вертикальные равны, смежные вместе дают 180°. Что сделать: попросите продолжить стороны угла: вертикальный угол стоит напротив и равен ему.
Берут нужное равенство заранее. В тетради: ∠3 = ∠7, потому что a ∥ b. Почему: подставляют то, что надо доказать. Что сделать: спросите: «Это мы знаем или это надо проверить?»
Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Обозначение: a ∥ b. Два отрезка параллельны, если они лежат на параллельных прямых.
Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках. У этих двух точек получается 8 углов.
Накрест лежащие: оба угла между прямыми a и b, по разные стороны от секущей. Односторонние: оба между a и b, по одну сторону от секущей. Соответственные: по одну сторону от секущей, один угол между a и b, другой снаружи.
Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°.
Пусть накрест лежащие углы равны: ∠3 = ∠5 = 70°. Угол 4 смежный с углом 3, поэтому ∠4 = 180° − 70° = 110°. Односторонние углы 4 и 5 дают 110° + 70° = 180°. Равными они бывают, только если оба по 90°.
Да. Это утверждение, обратное признаку, его доказывают в следующей теме с помощью аксиомы параллельных прямых. В тренажёре это видно на доске: пока углы не равны, у прямых есть точка встречи, хотя бы и далеко за краем доски.
Да. Третья прямая служит секущей, и односторонние углы равны 90° + 90° = 180°. По признаку прямые параллельны.
Рисунок кончается у края листа, а прямые бесконечны. В тренажёре при разнице углов в 2° прямые на трёхметровой доске выглядят параллельными, а встречаются примерно в 15 м от точки B, далеко за краем доски. Доказывают только по углам.