Прямоугольные треугольники и признаки их равенства
Прямоугольный треугольник: один угол прямой, 90°. Стороны у прямого угла: катеты, напротив него: гипотенуза, она самая длинная. Прямые углы равны всегда, поэтому для равенства хватает ещё двух пар.
Гипотенуза та же. Веди верхнюю вершину, пока катет не станет 80 см
Крути пальцем вбок · двумя пальцами ближе · двойное касание: вид спереди
Шаг 1 из 2
Гипотенуза та же, 100 см. Катет твоего треугольника короче, чем у образца.
Не путай:
Главное правило
Прямые углы у двух прямоугольных треугольников равны всегда. Поэтому для равенства хватает ещё двух пар равных элементов, и хотя бы одна пара должна быть сторонами. Пары стоят на своих местах: катет с катетом, гипотенуза с гипотенузой.
По двум катетам
AC = A₁C₁, BC = B₁C₁
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
✏️ Оба катета мелом той же длины.
По катету и прилежащему острому углу
AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то треугольники равны.
✏️ Катет той же длины, угол у него тот же.
По катету и противолежащему острому углу
BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁
Тоже признак: тогда равны и углы B и B₁ (каждый 90° − ∠A), а они прилежат к этому катету.
✏️ Катет той же длины, угол напротив него тот же.
По гипотенузе и острому углу
AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то треугольники равны.
✏️ Гипотенуза той же длины, угол тот же.
По гипотенузе и катету
AB = A₁B₁, AC = A₁C₁
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
✏️ Гипотенуза той же длины и тот же катет: вершина встаёт только в одно место.
Почему два острых угла не признак
У обоих треугольников острые углы около 37° и 53°, а гипотенузы 100 см и 50 см. Углы равны, а треугольники разные: каждая сторона второго вдвое короче. Нужна хотя бы одна пара сторон.
Почему важно, где стоит сторона
У обоих есть стороны 3 и 5. Но у первого 5 это гипотенуза, а у второго катет, и его гипотенуза больше 5. Пара «гипотенуза с гипотенузой» не совпала, треугольники разные.
Как узнать признак за 4 шага
Найди прямые углы: в углу квадратик.
У прямого угла катеты, напротив него гипотенуза.
Посчитай пары равных кроме прямых углов: нужно две, и среди них сторона.
Назови признак по тому, что равно: два катета, катет и угол, гипотенуза и угол, гипотенуза и катет.
📖 Что значат слова
Катет
Сторона прямоугольного треугольника, которая прилежит к прямому углу. Катетов два.
Гипотенуза
Сторона, которая лежит напротив прямого угла. Она длиннее каждого катета.
Острый угол
Угол меньше 90°. В прямоугольном треугольнике два острых угла, вместе они 90°.
Прилежащий к катету угол
Острый угол, вершина которого лежит на этом катете: в ΔABC с ∠C = 90° к катету AC прилежит ∠A.
Противолежащий катету угол
Острый угол напротив катета: катету BC противолежит ∠A.
Соответственно равны
Равны попарно элементы, которые стоят на одинаковых местах: катет с катетом, гипотенуза с гипотенузой, угол с углом при соответственных вершинах.
Как применить к любым задачам
∠C = ∠K = 90°, AC = MK = 6 см, BC = NK = 8 см. Равны ли ΔABC и ΔMNK?
Прямые углы: C и K, в них квадратики.
Что ещё равно: AC и MK выходят из прямых углов, это катеты. BC и NK тоже катеты.
Признак: две пары, обе стороны, катет с катетом. ΔABC = ΔMNK по двум катетам.
Запись: ∠C = ∠K = 90°, AC = MK, BC = NK, значит ΔABC = ΔMNK по двум катетам. Проверка: каждая пара на своём месте.
Шаг 1 из 4
∠C = ∠K = 90°, ∠A = ∠M = 40°. Равны ли ΔABC и ΔMNK?
Прямые углы: C и K.
Что ещё равно: только углы. ∠A = ∠M, значит и ∠B = ∠N = 90° − 40° = 50°.
Ловушка: ни одной пары сторон. Если ΔMNK увеличить в 1,5 раза, углы останутся те же.
Ответ: равенство не доказать. Нужна хотя бы одна пара равных сторон.
Шаг 1 из 4
∠C = ∠K = 90°, AB = MN = 13 см, ∠A = ∠M, BC = 5 см. Найди NK.
Что равно: AB и MN напротив прямых углов, это гипотенузы. Ещё ∠A = ∠M.
Признак: ΔABC = ΔMNK по гипотенузе и острому углу. Вершины по порядку: A и M, B и N, C и K.
Соответствие: NK лежит напротив угла M, а BC напротив угла A. ∠A = ∠M, значит NK = BC.
Ответ: NK = 5 см. Проверка: BC и NK обе катеты напротив равных углов.
Шаг 1 из 4
В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, AH высота. Докажи, что BH = HC.
Прямые углы: AH перпендикулярна BC, значит ∠AHB = ∠AHC = 90°. Получились два прямоугольных треугольника ABH и ACH.
Гипотенузы: AB и AC лежат напротив прямых углов, и AB = AC по условию.
Катет: AH общая сторона, в обоих треугольниках это катет.
Вывод: ΔABH = ΔACH по гипотенузе и катету, значит BH = CH.
Шаг 1 из 4
Бесконечный тренажёр
Шаг 1. Катеты и гипотенуза
Прямой угол C. Какая сторона гипотенуза?
Ответ: AB, она лежит напротив прямого угла C. Катеты AC и BC.
Где это бывает в жизни
💡 Штатив кольцевой лампыпо гипотенузе и катету
Ножки выдвинули на 100 см, крепления ножек на высоте 80 см. Как далеко от центра встанут ножки?
? смШаг 1 из 5
Для мам и пап
Главная ошибка: ребёнок ищет три пары равных элементов, как у обычных треугольников, или считает признаком два острых угла. Ещё путают катет и гипотенузу, когда рисунок повёрнут.
✂ 3 минуты с бумагой
Возьмите два листа в клетку. От уголка каждого отложите по краям 6 и 8 клеток и отрежьте треугольник по прямой. Наложите: совпадут, это признак по двум катетам. Гипотенуза у обоих 10 клеток.
💬 Что спросить
«Где прямой угол? Какая сторона его не касается? Что ещё равно, кроме прямых углов?» Не говорите «запомни четыре признака»: пусть ребёнок сам посчитает пары.
👆 Проверка пальцем
Попросите показать каждую равную пару пальцем: катет к катету, гипотенузу к гипотенузе. Пар две и среди них сторона: признак найден.
Тема понята, когда ребёнок сам находит гипотенузу на повёрнутом рисунке, называет признак по двум отмеченным парам и объясняет, почему двух углов мало, а итоговая проверка тренажёра пройдена: 5 из 6.
Что такое прямоугольный треугольник, катеты и гипотенуза?
Прямоугольный треугольник: треугольник, у которого один угол прямой, 90°. Две стороны, которые образуют прямой угол, называют катетами. Сторону напротив прямого угла называют гипотенузой. Гипотенуза длиннее каждого катета.
Почему прямоугольным треугольникам хватает двух равных элементов?
Прямые углы у них уже равны: 90° = 90°. Это пара, которая есть всегда. Поэтому достаточно ещё двух пар равных элементов, и хотя бы одна из них должна быть парой сторон.
Какие есть признаки равенства прямоугольных треугольников?
По двум катетам; по катету и прилежащему острому углу; по катету и противолежащему острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету. Пары должны быть соответственными: катет с катетом, гипотенуза с гипотенузой, угол при соответственной вершине.
Почему по двум острым углам треугольники могут быть не равны?
Углы задают форму, но не размер. У треугольников с гипотенузами 100 и 50 см могут быть одинаковые углы, около 37° и 53°: углы равны, а каждая сторона второго вдвое короче. Нужна хотя бы одна пара равных сторон.
Чем признак по гипотенузе и катету отличается от остальных?
В нём равны две стороны и угол, который лежит не между ними. Для обычных треугольников этого мало, а для прямоугольных хватает, потому что этот угол прямой. В учебнике его доказывают отдельной теоремой.
Тренажёр подготовили методисты школы «да, математика». Обновлено 6 ноября 2026.
Главная › Тренажёры › Признаки равенства прямоугольных треугольников на доске