AB = MN, AC = MK, ∠A = ∠M. Равны ли треугольники ABC и MNK?

Да, по 1-му признаку: две стороны и угол между ними.

AB = MN, AC = MK, ∠B = ∠N. Равны ли треугольники ABC и MNK?

По этим данным нельзя сказать: угол B не между сторонами AB и AC.

ΔABC = ΔNKM, BC = 7 см. Чему равна KM?

KM = BC = 7 см: K в паре с B, M в паре с C.

Признаки равенства треугольников простыми словами: наложение, 1, 2 и 3 признак. Тренажёр 7 класс

Главное правило

Равные треугольники совпадают при наложении: у них равны все 3 стороны и все 3 угла. Чтобы доказать равенство, хватит трёх пар, если они стоят по одному из трёх признаков.

что значит «=»

Совпадут при наложении

ΔABC = ΔMNK

A совпала с M, B с N, C с K

1-й признак

2 стороны и угол между ними

AB = MN, AC = MK, ∠A = ∠M

собрали шарнир: третья сторона одна

2-й признак

Сторона и 2 угла при ней

AB = MN, ∠A = ∠M, ∠B = ∠N

лучи от концов сошлись в одной точке

3-й признак

3 стороны

AB = MN, BC = NK, AC = MK

три палочки: треугольник не шатается

Почему 2 стороны и угол не между ними не работают

AB = 8, AC = 6, ∠B = 35°. Угол B не между AB и AC: эти стороны сходятся в A. Палочка AC ложится на луч в двух местах:

Два разных треугольника: BC₁ ≈ 10,4, а BC₂ ≈ 2,7. Значит, это не признак. И три угла тоже мало: они задают форму, но не размер.

Как записать в тетради

1

Выписываем, что даноAB = MN = 7 см, AC = MK = 5 см, ∠A = ∠M = 50°

2

Проверяем, где угол∠A между AB и AC

3

Пишем выводΔABC = ΔMNK по 1-му признаку, значит, BC = NK

Соседний случай: если треугольники рядом, третья пара часто прячется. Это общая сторона или вертикальные углы.

Где это бывает в жизни

Долистай до сцены: она запустится сама

Признак 1: 2 стороны и угол между ними

Почему циркуль чертит одинаковые круги, пока ты не трогаешь шарнир?

Ножки циркуля 12 см и 12 см: это 2 стороны
Раскрываем шарнир на 30°: это угол между ними
От иглы до грифеля вышло 6,2 см. Другой третьей стороны быть не может
Крутим циркуль: этот отрезок и есть радиус, поэтому круг всегда того же размера

?

радиус круга при угле 30°

Признак 2: сторона и 2 угла при ней

Как узнать ширину реки, не переплывая её?

Встань прямо напротив дерева B (точка A) и иди вдоль берега 30 шагов. Воткни палку: точка O
Пройди ещё 30 шагов: точка D
Повернись спиной к реке и иди, пока палка O не закроет дерево: точка E
От D до E вышло 50 шагов. Ширина реки AB такая же

?

ширина реки, если шаг ≈ 0,7 м

Признак 3: 3 стороны

Почему рама велосипеда собрана из треугольников, а не из квадратов?

Рама из 4 труб на шарнирах. Толкаем: она перекашивается, хотя трубы те же
Ставим красную трубу-диагональ: рама стала двумя треугольниками
Толкаем снова: не двигается. Три стороны задают одну форму треугольника

?

у треугольника из труб 50, 54 и 63 см

Бесконечный тренажёр

В каждом примере 2 шага: сначала смотрим, что дано, потом делаем вывод. Ошибёшься: покажем где и дадим похожий

Уровень 1Пример 1

ΔABC = ΔQRPPR = ?

Шаг 1Какая сторона ΔABC совпадёт с PR?

Ответ: PR = 8 см

Для мам и пап

Главная ошибка: ребёнок видит две стороны и угол и сразу пишет «равны по 1-му признаку», не проверив, что угол стоит между этими сторонами.

✂ 3 минуты с бумагой

Отрежьте полоски 7 и 5 см и скрепите концы кнопкой. Раскройте на 50° по транспортиру и обведите. Сделайте второй раз: третья сторона выйдет той же длины. Теперь отложите угол 35° у свободного конца длинной полоски: короткую можно приложить к лучу двумя способами, и треугольники выйдут разные.

💬 Что спросить

«Откуда выходят две отмеченные стороны?» и «Отмеченный угол стоит там же?». Не говорите «и так видно, что равны»: по рисунку равенство не доказывают, только по отметкам.

📏 Проверка числами

Начертите два треугольника по одним и тем же данным и измерьте линейкой третью сторону. Если признак выполнен, длины совпадут до миллиметра.

Тема понята, когда…

Ребёнок сам показывает, какой угол между двумя сторонами, находит общую сторону и вертикальные углы и пишет пары букв в правильном порядке: если ΔABC = ΔMNK, то BC = NK.

Что дальше

былоСмежные и вертикальные углы

ты здесьПонятие о равных треугольниках. Три признака равенства

дальшеРавнобедренный треугольник

Все тренажёры →

Частые вопросы

Какие треугольники называются равными?

Те, которые можно совместить наложением. Тогда совпадают все вершины, и у треугольников равны 3 стороны и 3 угла.

Зачем следить за порядком букв в записи ΔABC = ΔMNK?

Буквы стоят парами: A совпадает с M, B с N, C с K. По этим парам читаются равные стороны и углы: AB = MN, BC = NK, AC = MK, ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠K.

Чем отличаются три признака равенства треугольников?

1-й: две стороны и угол между ними. 2-й: сторона и два прилежащих к ней угла. 3-й: три стороны. Если у двух треугольников так равны три пары элементов, треугольники равны.

Почему две стороны и угол не между ними не подходят?

Из таких деталей иногда собираются два разных треугольника: сторона ложится на луч в двух местах. Например, AB = 8, AC = 6, ∠B = 35°: сторона BC выходит около 10,4 или около 2,7.

Почему трёх равных углов мало?

Углы задают форму, но не размер. У треугольника со сторонами 3, 4, 5 и треугольника со сторонами 6, 8, 10 углы одинаковые, а сами треугольники не равны.

Где искать третью пару, если отмечено только две?

Чаще всего это общая сторона, которая входит в оба треугольника, или вертикальные углы при пересечении двух отрезков. Их не отмечают на рисунке, их нужно увидеть.

Понятие о равных треугольниках Три признака равенства треугольников