← Все тренажёры
Telegram-канал ↗
∞ Бесконечный тренажёр · 7 класс

Прямоугольный треугольник с углом 30° и свойство медианы

∠A = 30°, гипотенуза AB = 80 см. Чему равен катет BC?

AB гипотенуза: напротив прямого угла C · BC катет: напротив угла 30°

👉 Переверни угольник и приложи к треугольнику на доске

Класс. На доске мелом треугольник с углом 30°, рядом такой же угольник для доски.
Тяни угольник · крути вбок · двумя пальцами ближе

Шаг 1 из 2. Угольник такой же, как треугольник ABC: гипотенуза 80 см, ∠A = 30°.

BC = ?
Свой пример: гипотенуза80 см

Что это. Прямоугольный треугольник: один угол прямой, 90°. Гипотенуза лежит напротив прямого угла, два катета образуют прямой угол. Острые углы вместе дают 90°: если один 30°, другой 60°.

Не путай: половина гипотенузы это катет напротив угла 30°. Катет, который выходит из вершины угла 30°, длиннее: при гипотенузе 20 см он около 17,3 см.

Главное правило

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. И обратно: если катет равен половине гипотенузы, то угол против него 30°. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
∠A = 30° → BC = AB : 2перевернули и приложили
BC = AB : 2 → ∠A = 30°обратное правило
CM = AB : 2повернули вокруг M
Почему 30°. Два угольника вместе дают треугольник ABB′, у него все углы по 60°. Такой треугольник равносторонний: BB′ = AB. А BC ровно половина BB′.
Почему медиана. Второй угольник, повёрнутый вокруг M, достраивает прямоугольник ACBD. Треугольники ACD и CAB равны по двум катетам, значит, CD = AB, а M середина обоих отрезков. Поэтому CM = AB : 2.

Почему не катет AC?

Катет AC выходит из вершины угла 30°. Он длиннее: при AB = 20 см это около 17,3 см. Половина гипотенузы, 10 см, только у катета BC напротив угла 30°.

Медиана равна половине любой стороны?

Нет. Только медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В равностороннем треугольнике со стороной 20 см медиана около 17,3 см, а не 10.

Какое правило выбрать

Дан угол 30° или 60° и одна сторона: катет против 30° равен половине гипотенузы.
Дана медиана из вершины прямого угла: она равна половине гипотенузы.
Катет ровно вдвое короче гипотенузы: угол против него 30°.

Как записать в тетради

  1. Дано∠C = 90°, ∠A = 30°, AB = 20 см
  2. Какой катет против угла 30°BC лежит против ∠A = 30°
  3. ПравилоBC = AB : 2 = 20 : 2 = 10 (см)

Как применить к любой задаче

∠C = 90°, ∠B = 60°, AB = 14 см. Найди BC.

  1. Дан угол 60°, а правило про 30°. Сначала второй острый угол: ∠A = 90° − 60° = 30°.
  2. Против ∠A = 30° лежит катет BC.
  3. BC = AB : 2 = 14 : 2 = 7 см.
  4. Проверка: гипотенуза 14 вдвое длиннее катета 7 ✓

Медиана CM, проведённая к гипотенузе, равна 6,5 см. Найди гипотенузу AB.

  1. M середина гипотенузы, а медиана к гипотенузе равна её половине: CM = AB : 2.
  2. Значит, AB = 2 · CM = 2 · 6,5 = 13 см.
  3. Проверка: 13 : 2 = 6,5 ✓

∠C = 90°, AC = 9 см, AB = 18 см. Найди ∠B.

  1. 18 : 2 = 9: катет AC равен половине гипотенузы.
  2. Угол 30° лежит против этого катета. Против AC лежит ∠B, а не ∠A.
  3. ∠B = 30°, тогда ∠A = 90° − 30° = 60°.
  4. Проверка: 30° + 60° + 90° = 180° ✓

∠C = 90°, ∠A = 30°, AB = 16 см, CM медиана. Найди CM и BC.

  1. CM = AB : 2 = 8 см (медиана к гипотенузе).
  2. BC = AB : 2 = 8 см (катет против 30°).
  3. Значит, CM = MB = BC = 8 см: треугольник CMB равносторонний.
  4. Проверка: в CMB угол B = 60° и стороны у него равны ✓

Бесконечный тренажёр

Уровень 1

∠A = 30°, ∠C = 90°, гипотенуза AB = 12 см. Найди BC.

Какой катет лежит напротив угла 30°?

Где это бывает в жизни

🚇

Катет против 30° равен половине гипотенузы

Наклонный ход эскалатора 40 м. На какую глубину он спускает?

Проехали 0 м · спустились на 0 м

?

Тоннельные эскалаторы метро ставят под углом 30° к горизонту. Наклонный ход это гипотенуза, глубина спуска это катет против угла 30°, поэтому она ровно половина наклонного хода. Короткие ровные площадки у входа и выхода в счёт не входят.

Для мам и пап

Главная ошибка: берут не тот катет. Половина гипотенузы только у катета напротив угла 30°.

📐 3 минуты с угольниками

Возьмите два одинаковых угольника 30°, переверните один и приложите длинными катетами. Спросите: какой треугольник получился и почему?

💬 Что спросить

«Напротив какого угла этот катет?», «Где середина гипотенузы?». Не говорите «просто подели на 2»: так путают, когда делить, а когда умножать.

🔢 Проверка числами

Гипотенуза самая длинная сторона и ровно вдвое длиннее катета против 30°. Медиана к гипотенузе ровно вдвое короче гипотенузы.

Тема понята, когда ребёнок сам находит катет против 30°, делит или умножает на 2 в нужную сторону и объясняет, почему медиана к гипотенузе равна её половине.

Что дальше

былоБиссектриса, медиана, высота
ты здесьТреугольник с углом 30° и медиана
дальшеТеорема Пифагора, 8 класс

Все тренажёры →

Частые вопросы

Почему катет против угла 30° равен половине гипотенузы?

Приложите к треугольнику такой же, перевернув его, по катету у угла 30°. Получится треугольник, у которого все углы по 60°, а значит, все стороны равны. Катет против 30° ровно половина стороны, а сторона равна гипотенузе.

Работает ли правило для угла 60°?

Нет. Катет против угла 60° длиннее половины гипотенузы: при гипотенузе 20 см он около 17,3 см. Половину даёт только катет против 30°.

Верно ли обратное?

Да. Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°, а второй острый угол 60°.

Медиана к катету тоже равна половине катета?

Нет. Свойство только для медианы к гипотенузе. Например, при углах 30° и 60° и гипотенузе 20 см медиана к катету длиной 10 см около 18 см, а не 5.

Почему середина гипотенузы одинаково далеко от всех трёх вершин?

MA = MB, потому что M середина гипотенузы. MC = AB : 2 по свойству медианы. Значит, MA = MB = MC, и все три вершины лежат на окружности с центром M.

Тренажёр подготовили методисты школы «да, математика». Обновлено 7 ноября 2026.