← Все тренажёры
Telegram-канал ↗
∞ Бесконечный тренажёр · 7 класс

Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов

Разложи на множителиx² + 6x + 9

Сторона квадрата x м, ширина полосы 3 м

Нажми на полосу или потяни её к квадрату

Серые татами из зала единоборств, разрезанные на куски: площадь куска это член многочлена

Крути пальцем · двумя пальцами ближе · двойное касание: вид сверху

Полос 3x две, вместе это 6x. Положи их к квадрату x².

Шаг 1 из 3

Своя ширина полосы: 3

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения многочленов. Формулы сокращённого умножения применяем в обратную сторону: в учебнике (a + b)² = a² + 2ab + b², а здесь видим a² + 2ab + b² и пишем (a + b)².

Не путай: x² + 6x + 9 = (x + 3)², а x² + 9 по формулам не раскладывается: в нём нет полос 6x.

Главное правило

Разложить на множители значит записать многочлен произведением. Видим в многочлене квадраты a² и b²: проверяем, подходит ли одна из трёх формул, и записываем многочлен произведением из этой формулы.
a² + 2ab + b² = (a + b)²

Квадрат первого плюс удвоенное произведение плюс квадрат второго равно квадрату суммы. На татами: квадрат, две полосы и уголок сложились в квадрат со стороной a + b.

a² − 2ab + b² = (a − b)²

Квадрат первого минус удвоенное произведение плюс квадрат второго равно квадрату разности. На татами: вынули полосу ab; второй кусок короче на уголок b², его дополнили уголком и тоже вынули. Остался квадрат со стороной a − b.

a² − b² = (a − b)(a + b)

Разность квадратов равна произведению разности и суммы. На татами: вынули уголок b², переложили полосу, вышел прямоугольник со сторонами a − b и a + b.

Почему x² + 9 не равно (x + 3)²(x + 3)² = x² + 6x + 9: в квадрате суммы есть ещё две полосы по 3x. Проверка при x = 1: 1 + 9 = 10, а (1 + 3)² = 16. Сумма квадратов a² + b² не подходит ни под одну из трёх формул.
Почему x² − 9 не равно (x − 3)²(x − 3)² = x² − 6x + 9: в квадрате разности есть ещё член −6x. Проверка при x = 5: 25 − 9 = 16, а (5 − 3)² = 4. Верно (5 − 3)(5 + 3) = 2 · 8 = 16.
Какую формулу выбрать
  1. Есть общий множитель? Сначала вынеси его: 2x² − 18 = 2(x² − 9).
  2. Два члена, оба квадраты, между ними минус: разность квадратов.
  3. Три члена, два из них квадраты со знаком плюс: проверь, равен ли третий член 2ab. Плюс перед ним: квадрат суммы, минус: квадрат разности.
  4. Сумма квадратов a² + b² или средний член не равен 2ab: по этим формулам не раскладывается.

Как применить к любым выражениям

    Бесконечный тренажёр

    x² + 10x + 25

    Шаг 1 из 2Что здесь a и b?

    👪 Подсказка для взрослого

    Где это бывает в жизни

    ⚽ Футбол: зона для «квадрата» квадрат суммы

    Тренер размечал фишками зону для игры в «квадрат» . Потом добавил к ней две полосы и уголок, и площадь стала . Какая теперь сторона зоны?

    ?

    Шаг 0 из 3

    🎹 Школьный концерт: кресла разность квадратов

    В актовом зале к концерту поставили . Сколько кресел, если считать в уме?

    ?

    Шаг 0 из 2

    Для мам и пап

    Главная ошибка: ребёнок видит x² и 9 и сразу пишет (x + 3)², не проверив средний член 6x. Или путает x² − 9 с (x − 3)².

    ✂ 3 минуты с бумагой

    Вырежьте из листа в клетку квадрат 6 × 6, две полосы 3 × 6 и квадрат 3 × 3. Попросите сложить большой квадрат и назвать его сторону: 6 + 3.

    💬 Что спросить

    «Где здесь квадраты? Чему равно 2ab? Совпало со средним членом?» Не говорите «просто запомни формулу»: формула должна выйти из проверки.

    🔢 Проверка числами

    Подставьте x = 1 в обе части: 1 + 6 + 9 = 16 и (1 + 3)² = 16. Не совпало: точно ошибка. Совпало: раскройте скобки, это полная проверка (одно число может совпасть случайно).
    Тема понята, когда ребёнок сам выбирает формулу по виду многочлена, находит a и b, проверяет 2ab и раскрывает скобки для проверки, а итоговая проверка тренажёра пройдена: 5 из 6.

    Что дальше

    БылоФормулы сокращённого умножения: раскрываем скобки Ты здесьРазложение на множители по ФСУ на татами ДальшеРазложение на множители на подносах: вынесение и группировка
    Все тренажёры →

    Частые вопросы

    Что значит разложить многочлен на множители?

    Представить его в виде произведения многочленов. Например, x² + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)². Проверка: раскрыть скобки и получить исходный многочлен.

    Как понять, какую формулу применять?

    Посчитай члены. Два члена с минусом между квадратами: разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b). Три члена: найди a и b по квадратам и проверь, равен ли третий член 2ab. Со знаком плюс это квадрат суммы, с минусом квадрат разности.

    Почему x² + 9 не раскладывается как (x + 3)²?

    Потому что (x + 3)² = x² + 6x + 9, а в x² + 9 нет члена 6x. При x = 1 получаем 10 и 16. Сумма квадратов a² + b² не подходит ни под одну формулу сокращённого умножения, а x² + 9 на множители не раскладывается вообще.

    Как правильно: (x − 3)² или (3 − x)²?

    Оба ответа верны: числа x − 3 и 3 − x отличаются только знаком, а их квадраты равны. Обычно пишут в том порядке, в котором стоят члены многочлена.

    Что делать, если есть общий множитель, например 2x² − 18?

    Сначала вынести общий множитель: 2x² − 18 = 2(x² − 9). Потом применить формулу: 2(x − 3)(x + 3).

    Тренажёр подготовили методисты школы «да, математика». Обновлено 5 ноября 2026.