∞ Бесконечный тренажёр · 7 класс

Разложение многочленов на множители различными методами: вынесение за скобки, формулы, группировка

Разложи на множители до конца3x² − 12

Лист x × x см, уголок 2 × 2 см вырезан

Сложи листы в стопку

Пенокартон в классе художки: листы режем и складываем, площадь куска это член многочлена

Крути пальцем вбок · двумя пальцами ближе · двойное касание: вид сверху

3 листа x × x без уголков 2 × 2Это 3x² − 3 · 4 = 3x² − 12

Шаг 1 из 2

Листов:3 Уголок:2

Разложить многочлен на множители значит записать его как произведение многочленов, то есть «что-то умножить на что-то». Например, 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2).

Методов три: вынести общий множитель за скобки, применить формулу сокращённого умножения, сгруппировать члены. Часто нужны два метода подряд. Раскладываем до конца: пока хотя бы одну скобку ещё можно разложить.

Не путай: 3(x² − 4) ещё не ответ. Скобка x² − 4 раскладывается: (x − 2)(x + 2).

Главное правило

Раскладываем по шагам, пока можно. Сначала выносим за скобки то, на что делятся все члены. Потом смотрим на скобку: подходит формула или группировка? Раскладываем её. Готово, когда ни одну скобку уже не разложить.

3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2)

Вынеси общий множитель, потом разложи разность квадратов. На картоне: сложили 3 одинаковых листа стопкой, отрезали полосу и переложили наверх.

2x² + 12x + 18 = 2(x² + 6x + 9) = 2(x + 3)²

Вынеси общий множитель, потом собери квадрат суммы. x² + 6x + 9 = (x + 3)². На картоне: 2 одинаковых набора сложили стопкой и собрали из кусков квадрат.

x² + 6x + 9 − y² = (x + 3)² − y² = (x + 3 − y)(x + 3 + y)

Сгруппируй: первые три члена дают квадрат (x + 3)². Потом разложи разность квадратов. На картоне: собрали квадрат, вырезали уголок y × y и переложили полосу.

Почему 3(x² − 4) ещё не ответЭто верно, но не до конца: скобку x² − 4 ещё можно разложить, x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Ответ: 3(x − 2)(x + 2). Проверка при x = 5: 3 · (25 − 4) = 63 и 3 · 3 · 7 = 63, совпало.

Почему 3x² − 12 не равно (3x − 2)(3x + 2)(3x − 2)(3x + 2) = 9x² − 4. Проверка при x = 1: 3 − 12 = −9, а 1 · 5 = 5. 3x² не получить как (что-то)²: x · x = x², 2x · 2x = 4x², а 3x² между ними. Поэтому сначала выносим 3, а формулу применяем к скобке x² − 4.

Какой метод выбрать

Есть множитель во всех членах (число или буква)? Вынеси его за скобки.
В скобке два члена с минусом, оба квадраты (x² − 9): разность квадратов. Три члена (x² + 6x + 9): квадрат суммы или квадрат разности.
Четыре члена: группируй. В x² + 6x + 9 − y² первые три дают (x + 3)², а в x² − y² + 2x − 2y обе пары дают скобку x − y.
Проверь каждую скобку: раскладывается ещё, раскладывай. Сумма квадратов a² + b² по формулам не раскладывается.

📖 Словарик: что значат слова

МногочленНесколько одночленов через плюс и минус. Одночлен это число и буквы, которые перемножили: 3x², 6x, −12.В 3x² − 12 два члена: 3x² и −12

МножительТо, что умножают.В 3(x − 2)(x + 2) три множителя: 3, x − 2, x + 2

Разложить на множителиЗаписать многочлен как произведение.x² − 4 = (x − 2)(x + 2)

Общий множительТо, на что делится каждый член. Его выносят за скобки.3x² − 12 = 3(x² − 4)

КвадратЧисло или выражение, умноженное само на себя.9 = 3², 4x² = (2x)²

Формулы сокращённого умноженияГотовые ответы для частых произведений. Их применяют и в обратную сторону.a² − b² = (a − b)(a + b), a² + 2ab + b² = (a + b)²

ГруппировкаСобираем члены в группы, которые раскладываются.(x² + 6x + 9) − y² = (x + 3)² − y²

Разложить до концаДальше ни одну скобку уже не разложить.3(x² − 4) ещё нет, 3(x − 2)(x + 2) да

Как применить к любым выражениям

Бесконечный тренажёр

Вынести + разность квадратов

Например, 3x² − 12

Уровень 1 из 3Цель дня: 0 из 5

3x² − 12

Шаг 1 из 2Что вынести за скобки?

👪 Подсказка для взрослого

Где это бывает в жизни

🥁 Бас-барабан: наклейка на пластик вынести π + разность

Шаг 1 из 5

🖼 Выставка художки: поля паспарту вынести + разность

Шаг 1 из 5

Для мам и пап

Главная ошибка: ребёнок выносит общий множитель и останавливается, например на 3(x² − 4). Или сразу берёт формулу и пишет (3x − 2)(3x + 2), не вынеся 3.

✂ 3 минуты с бумагой

Вырежьте из бумаги в клетку 3 квадрата 10 × 10 клеток и у каждого отрежьте уголок 2 × 2. Сложите стопкой, отрежьте полосу и переложите: выйдет стопка прямоугольников 8 × 12. Проверка: 3 · (100 − 4) = 288 и 3 · 8 · 12 = 288.

💬 Что спросить

«Что общее у всех членов? Что осталось в скобке? Можно ли её ещё разложить?» Не говорите «ты не закончил»: пусть ребёнок сам проверит каждый множитель.

🔢 Проверка числами

Подставьте x = 2 в многочлен и в ответ: 2 · 4 + 24 + 18 = 50 и 2 · 5² = 50. Не совпало: точно ошибка. Совпало: раскройте скобки, это полная проверка (одно число может совпасть случайно).

Тема понята, когда ребёнок сам выбирает первый шаг, доводит разложение до конца и проверяет ответ раскрытием скобок, а итоговая проверка тренажёра пройдена: 5 из 6.

Что дальше

БылоРазложение на множители на подносах: вынесение и группировка Ты здесьРазложение различными методами на пенокартоне Дальше, скороРешение уравнений разложением на множители

Все тренажёры →

Частые вопросы

Что значит разложить многочлен на множители различными методами?

Записать многочлен произведением, применив несколько методов подряд: вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, группировку. Например, 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2): сначала вынесли 3, потом применили разность квадратов.

С чего начинать разложение?

Всегда с вынесения общего множителя, если он есть. Потом смотрим на скобку: два члена, проверяем разность квадратов; три члена, квадрат суммы или разности; четыре и больше, группировку.

Как понять, что многочлен разложен до конца?

Посмотреть на каждый множитель: если какой-то ещё раскладывается (есть общий множитель, подходит формула или группировка), разложение не закончено. В 3(x − 2)(x + 2) ни один множитель не раскладывается, значит, это конец.

Почему x² + 4 не раскладывается на множители?

Это сумма квадратов. Ни одна формула сокращённого умножения для неё не подходит: (x + 2)² = x² + 4x + 4, лишний член 4x. Многочлен x² + 4 на множители не раскладывается, поэтому x⁴ − 16 = (x − 2)(x + 2)(x² + 4), и скобку x² + 4 оставляем как есть.

Как проверить ответ?

Раскрыть скобки и получить исходный многочлен. Быстрая проверка: подставить одно число, например x = 1, в многочлен и в ответ. Разные значения значат ошибку.

Тренажёр подготовили методисты школы «да, математика». Обновлено 6 ноября 2026.