Наклоняй секущую за ручку «↻ наклон» · крути доску пальцем вбок · двумя пальцами ближе · двойное нажатие: вид прямо
Почему. Сдвинем шаблон углов вдоль секущей от A к B. Его линия через B образует с секущей такие же углы, как a, значит, она параллельна a (признак параллельности). Но через B проходит только одна прямая, параллельная a: это аксиома параллельных прямых. Значит, линия шаблона совпала с b, и углы у B те же, что у A. На всей доске остаются только два значения: синие углы равны друг другу, оранжевые тоже, а синий + оранжевый = 180°.
Соседний случай. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой: соответственные углы равны, 90° = 90°.
1. Проверь, что в условии есть a ∥ b. Нет его: по углу у A угол у B найти нельзя.
2. Найди у A угол, который стоит так же, как нужный угол у B: с той же стороны от c и так же над своей прямой или под ней. Он равен нужному (соответственные углы).
3. Сравни его с данным углом у A: вертикальные равны, смежные вместе дают 180°.
4. Короче, если a ∥ b: острые углы на рисунке равны между собой, тупые тоже, а острый + тупой = 180°. Если секущая перпендикулярна прямым, все восемь углов по 90°.
Параллельные прямые: две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Пишут a ∥ b.
Секущая: прямая c, которая пересекает прямые a и b в двух точках, A и B. У этих точек получается 8 углов, их нумеруют от 1 до 8.
Накрест лежащие углы: оба между a и b, по разные стороны от секущей: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6.
Соответственные углы: по одну сторону от секущей, один между a и b, другой снаружи, и стоят одинаково (оба над своей прямой или оба под ней): ∠1 и ∠5, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠8.
Односторонние углы: оба между a и b, по одну сторону от секущей: ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6.
Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Свойство отвечает на вопрос «что верно, если a ∥ b». Признак отвечает на вопрос «как доказать, что a ∥ b».
Спросите: «Где стоят углы: оба между a и b? По одну сторону от c или по разные?» Если оба между a и b и по разные стороны, это накрест лежащие: они равны.
Соответственные углы равны
Подойдёт ли один шаблон угла ко всем столбикам перил?
Все столбики стоят вертикально, значит, они параллельны. Поручень пересекает их как секущая, поэтому угол между поручнем и каждым столбиком один и тот же: соответственные углы равны.
Сумма односторонних углов 180°
Какой угол у бордюра с другой стороны парковочного места?
Линии разметки параллельны, бордюр их секущая. Внутри одного места два угла у бордюра односторонние, поэтому вместе дают 180°: если с одной стороны 45°, с другой 135°. Машина заезжает как настоящая: по одностороннему проезду шириной 4,5 м, задняя ось идёт по дуге радиусом 4,8 м, передние колёса повёрнуты примерно на 29°.
Главная ошибка: ребёнок считает, что односторонние углы тоже равны, и пишет ∠4 = ∠5 = 115°. На самом деле ∠4 + ∠5 = 180°. Вторая ошибка: пишет равенства углов, когда в условии нет a ∥ b.
Тема понята, когда ребёнок по одному углу находит все восемь, объясняет, почему односторонние в сумме дают 180°, и спрашивает «а прямые точно параллельны?», прежде чем писать равенство.
| Этап | Думает | Пишет | Где в тренажёре |
|---|---|---|---|
| 1. Видит 8 углов | «Тут куча углов, все разные» | Путает номера | Углы у A: синие и оранжевые |
| 2. Называет пары | «Накрест: любые два угла по разные стороны» | ∠4 и ∠6 «соответственные» | Шаг 1 тренажёра, вкладки 1-3 |
| 3. Равны или 180° | «Пара значит равны» | ∠4 = ∠5 = 115° | Сдвиг шаблона, жёлтая карточка |
| 4. Цепочка через вертикальные и смежные | «Это не пара, значит, не найти» | Бросает задачу с ∠2 и ∠5 | Уровень 2, «Разберём по шагам» |
| 5. Условие a ∥ b | «Накрест всегда равны» | Равенство без a ∥ b | Вкладка 4, ловушка без a ∥ b |
| 6. Уравнение | «Сложу и приравняю к 180° всегда» | 2x + 10 + 3x − 20 = 180 для накрест лежащих | Уровень 3 |
Признак ведёт от углов к прямым: если, например, накрест лежащие углы равны, то a ∥ b. Свойство ведёт наоборот: если a ∥ b, то накрест лежащие углы равны, соответственные равны, а односторонние вместе дают 180°. Это обратные утверждения.
Четыре угла у B такие же, как у A. ∠4 совпадает с ∠8, а ∠8 и ∠5 смежные, вместе 180°. Значит, ∠4 + ∠5 = 180°. Равны односторонние углы только тогда, когда оба по 90°.
Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Сдвинем прямую a вдоль секущей до точки B. Сдвинутая прямая образует с секущей такие же углы, как a, поэтому по признаку она параллельна a. Через B такая прямая одна, это b, поэтому углы у B те же, что у A. В учебнике свойство доказывают от противного с помощью той же аксиомы.
Нет. Без параллельности углы у B могут быть любыми: если наклонить прямую b на 10°, ∠5 изменится на 10°, а ∠3 останется прежним. Сначала найди в условии a ∥ b.
Тогда она перпендикулярна и другой: соответственные углы равны, 90° = 90°. Все восемь углов по 90°.
Вертикальный угол равен данному, смежный дополняет его до 180°: так находятся 4 угла у A. Углы у B такие же. Например, если ∠1 = 65°, то ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 65°, а ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 115°.
Номера зависят от рисунка в учебнике или задаче. Пару определяют не по номерам, а по месту: оба угла между a и b или один снаружи, по одну сторону от секущей или по разные.