Перетащи пиццу на стол
Шаг 1 из 2: на столе 1 пицца, 8 кусков
Крути стол пальцем, приближай двумя пальцами (на компьютере колёсиком с Ctrl), двойное нажатие приближает к месту. Пиццу со стола можно утащить обратно: так отменяется шаг.
↑↑ Прямая: y = k · x
Частное y : x не меняется. Это число k называют коэффициентом пропорциональности, k ≠ 0. Здесь k = 8: каждая пицца добавляет 8 кусков.
1 пицца 8 кусков, 3 пиццы 24 куска: 8 : 1 = 8 и 24 : 3 = 8
График y = kx: прямая через начало координат. Пиццы целые, поэтому у нас отдельные точки, и все они лежат на этой прямой.
↑↓ Обратная: x · y = k, y = k/x
Произведение x · y не меняется, здесь k = 24: кусков на столе столько же, просто едоков больше. При этом k ≠ 0 и x ≠ 0.
2 друга по 12, 4 друга по 6: 2 · 12 = 4 · 6 = 24
График y = k : x называют гиперболой: кривая приближается к осям, но не касается их. Наши точки лежат на ней.
Почему 4 друзьям не по 24 куска
Ошибка: «друзей больше, значит, и кусков больше», 2 друга по 12, 4 друга по 24.
Проверим числами: 4 · 24 = 96 кусков, а на столе всего 24.
Верно: друзей в 2 раза больше, каждому в 2 раза меньше. 12 : 2 = 6, проверка 4 · 6 = 24 ✓
Как записать в тетради
Для прямой отношения пишут в одном порядке: 3 : 1 = x : 8, x = 24.
Растёт вместе ещё не значит прямая. Пицца 600 ₽, доставка 200 ₽ за заказ: 1 пицца 800 ₽, 2 пиццы 1400 ₽, а не 1600 ₽. Это зависимость вида y = 600x + 200, но не пропорциональность: такую задачу считают по шагам, без пропорции.
Шаг 1 из 2 Друзей в 3 раза больше. А каждому?
Шаг 2 из 2
Спросите: «Если одной величины станет в 2 раза больше, другой станет больше или меньше? Во сколько раз?» Не говорите «больше, значит, умножай»: так ошибаются в обратной пропорциональности.
🥞 Прямая: блинов в 3 раза больше, молока в 3 раза больше
Нужно 24 блина. Сколько стаканов молока?
?
Порция 1 из 3
🎁 Обратная: друзей в 3 раза больше, каждый платит в 3 раза меньше
Наушники в подарок стоят 3000 ₽. Скидываются 6 друзей. По сколько каждому?
?
Друзей 2 из 6
Главная ошибка: ребёнок видит «больше» и сразу умножает, не спросив, что станет со второй величиной.
3 минуты с бумагой
Нарисуйте 12 кружков-конфет. Разделите их чертой на 2 человек, потом на 4. Пусть ребёнок скажет: людей в 2 раза больше, каждому в 2 раза меньше. Потом нарисуйте каждому по 2 конфеты: людей в 2 раза больше, конфет нужно в 2 раза больше.
Что спросить
«Если пицц станет в 2 раза больше, кусков станет больше или меньше? Во сколько раз?» Не говорите «больше, значит, умножай»: так ошибаются в обратной пропорциональности.
Проверка числами
Прямая: частное в двух строках одинаковое, 24 : 3 = 48 : 6. Обратная: одинаковое произведение, 2 · 12 = 4 · 6. Не совпало, значит, ищем ошибку.
Тема понята, когда ребёнок сам ставит стрелки, объясняет, почему каждому стало меньше, и говорит, почему цена с доставкой не прямо пропорциональна числу пицц.
Спросите себя: если одну величину увеличить в 2 раза, что станет с другой? Стала в 2 раза больше, значит, прямая: 1 пицца это 8 кусков, 2 пиццы это 16. Стала в 2 раза меньше, значит, обратная: 24 куска на 2 друзей по 12, на 4 друзей по 6. Надёжная проверка на числах: при прямой не меняется частное, при обратной не меняется произведение.
Нет. Важно, во сколько раз меняется вторая величина. Было 24 куска, каждый друг съедает 3. При 2 друзьях осталось 18, при 4 друзьях осталось 12. Друзей стало в 2 раза больше, а остаток уменьшился не в 2 раза, значит, это не обратная пропорциональность.
Доставка стоит одинаково при любом числе пицц. Пицца 600 ₽, доставка 200 ₽: 1 пицца стоит 800 ₽, 2 пиццы стоят 1400 ₽, а не 1600 ₽. Цена растёт, но не во столько же раз, поэтому пропорцию здесь составлять нельзя, считаем по шагам.
Запишите условие в две строки и поставьте стрелки. Если стрелки смотрят в разные стороны, одно из отношений переворачивают. 2 друга по 12 кусков, 4 друга по x: 4 : 2 = 12 : x, отсюда x = 12 · 2 : 4 = 6. Проверка: 2 · 12 = 4 · 6 = 24.
Это число, которое не меняется. При прямой пропорциональности не меняется частное y : x, тогда y = k · x: в каждой пицце k = 8 кусков. При обратной не меняется произведение x · y, тогда y = k : x: всего k = 24 куска при любом числе друзей.
При прямой пропорциональности частное в обеих строках одинаковое: 24 : 3 = 48 : 6 = 8. При обратной одинаковое произведение: 2 · 12 = 4 · 6 = 24. Если числа не совпали, ошибка в выборе зависимости или в счёте.
Тренажёр подготовили методисты школы «да, математика». Обновлено 26 октября 2026.