Соседний случай. Модуль от выражения решаем так же: |2x − 3| = 5, значит 2x − 3 = 5 или 2x − 3 = −5.
1. Рядом с модулем есть число или множитель: сначала оставь модуль один.
2. Справа отрицательное число: корней нет. Справа 0: внутри модуля 0, корень один.
3. Справа положительное число: внутри модуля это число или противоположное ему. Получаются два уравнения.
4. Для |x − b| = a быстро: корни b − a и b + a.
Модуль числа: расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число. Обозначают вертикальными чертами: |a|.
Противоположные числа: отличаются только знаком, как 5 и −5. Их модули равны.
Корень уравнения: число, при котором равенство верное. Решить уравнение значит найти все корни или доказать, что их нет.
Расстояние между точками a и b на прямой равно |a − b|.
Раствор циркуля: расстояние от присоски до мела (у тетрадного циркуля: от иглы до грифеля). В уравнении |x − b| = a раствор равен a.
Спросите: «Какие числа стоят на расстоянии 4 от нуля?» Ответ показывают на прямой пальцем: справа и слева.
Главная ошибка: ребёнок пишет |x| = 5 → x = 5 и теряет второй корень −5.
Тема понята, когда ребёнок решает 5 примеров вперемешку, в каждом находит все корни и сам объясняет, почему у |x| = −3 их нет.
| Этап | Думает | Пишет | Где в тренажёре |
|---|---|---|---|
| 1. Модуль как «число без минуса» | «Модуль просто убирает минус» | |x| = 5 → x = 5 | Герой: дуга мелом находит второй корень |
| 2. Модуль как расстояние | «Ищу точки на расстоянии 5 от нуля» | x = 5 или x = −5 | Шаг 1 тренажёра: «Сколько корней?» |
| 3. Справа минус или 0 | «|x| = −3, значит x = −3» | x = −3 | Свой пример с числом −3: циркуль не раскрыть на отрицательное расстояние. Здесь модель кончается, дальше правило словами: модуль не бывает отрицательным |
| 4. Число внутри модуля | «В |x + 4| отсчитываю расстояние от 4», «|x − 3| это |x| − 3» | x = 10 или x = −2; |x| = 8 | Герой: ребёнок сам выбирает, куда поставить присоску; вкладка 2: «От какой точки отсчитываем расстояние?» |
| 5. Модуль от выражения | «Минус ставлю к числу внутри» | 2x + 3 = 5 | Вкладка 3: на доске прямая значений 2x − 3, циркуль находит 5 и −5, дальше два уравнения записью |
| 6. Модуль не один | «Сразу ставлю ±» | x − 2 + 3 = ±7 | Герой «Модуль не один»: ребёнок сам выбирает первое действие; вкладки 3 и 4: «С чего начнём?» |
| 7. Решаю и проверяю | «Подставлю оба корня» | |8 − 3| = 5 ✓ | Вкладка 5: проверка без подсказок |
Потерян второй корень. В тетради: |x| = 5 → x = 5. Почему: Модуль кажется «числом без минуса», и ребёнок ищет одно число. Что сделать: Попросите показать на прямой обе точки на расстоянии 5 от нуля.
Отрицательное расстояние. В тетради: |x| = −3 → x = −3. Почему: Модуль «снимают», не замечая, что справа отрицательное число. Что сделать: Спросите: «Бывает ли расстояние −3 метра?»
Не та точка отсчёта. В тетради: |x + 4| = 6 → отсчитывают расстояние от 4. Почему: Число в модуле читают как точку, не глядя на знак. Что сделать: Попросите подставить найденную точку: внутри модуля должно выйти 0.
Минус не у всей части. В тетради: |2x − 3| = 5 → 2x + 3 = 5. Почему: Минус ставят к числу внутри модуля, а не к правой части. Что сделать: Попросите проговорить: «то, что внутри, равно 5 или −5».
Второй корень не разделили. В тетради: 2x = −2 → x = −2. Почему: Второе уравнение решают не до конца, торопясь к ответу. Что сделать: Попросите подставить оба корня в исходное уравнение.
Модуль не отделили. В тетради: |x − 2| + 3 = 7 → x − 2 + 3 = ±7. Почему: Знак ± ставят сразу, хотя рядом с модулем ещё есть число. Что сделать: Попросите обвести модуль и спросить: «Он один в левой части?»
Прибавили вместо вычитания. В тетради: |x − 2| + 3 = 7 → |x − 2| = 10. Почему: Число 3 убирают слева, а справа его прибавляют. Что сделать: Не говорите «перенеси»: попросите сказать вслух «вычитаю 3 из обеих частей».
Число вынесли из модуля. В тетради: |x − 3| = 5 → |x| = 8. Почему: Черты модуля читают как скобки и выносят число наружу. Что сделать: Попросите подставить найденный корень в исходное уравнение, а не в упрощённое.
Ноль: два корня. В тетради: |x| = 0 → два корня. Почему: Привычка «у модуля всегда два корня». Что сделать: Спросите: «Какие числа на расстоянии 0 от нуля?»
Вычли вместо деления. В тетради: 3|x| = 12 → |x| = 9. Почему: 3|x| читают как 3 + |x|. Что сделать: Попросите вслух прочитать 3|x| как «три умножить на модуль x».
Раствор вместо центра. В тетради: |x − 3| = 5 → отсчитывают расстояние от 5. Почему: Путают, какое число точка, а какое расстояние. Что сделать: Спросите: «От чего отсчитываем расстояние и сколько?»
Перепутаны случаи. В тетради: |x| = 5 → «корней нет», |x| = 0 → «корней нет». Почему: Путают три случая: число справа больше 0, равно 0 или меньше 0. Что сделать: Попросите назвать знак числа справа и по нему сказать, сколько корней. Проверьте подстановкой: |0| = 0, |−5| = 5.
Модуль числа это расстояние от начала отсчёта до точки, которая изображает это число на координатной прямой. Поэтому |5| = 5 и |−5| = 5. Иначе: |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = −a, если a < 0.
Нужны все числа на расстоянии 5 от нуля. Их два: 5 и −5. Проверка: |5| = 5 и |−5| = 5.
Когда модуль, оставшись один, равен отрицательному числу, например |x − 1| = −4. Модуль не бывает отрицательным, поэтому такое равенство не выполняется ни при каком x.
Внутри модуля 5 или −5: 2x − 3 = 5 или 2x − 3 = −5. Отсюда 2x = 8 или 2x = −2, то есть x = 4 или x = −1. Проверка: |2 · 4 − 3| = 5 и |2 · (−1) − 3| = |−5| = 5.
Сначала оставить модуль один. В уравнении |x − 2| + 3 = 7 вычитаем 3 из обеих частей: |x − 2| = 4. Дальше x − 2 = 4 или x − 2 = −4, то есть x = 6 или x = −2.
|x + 4| = |x − (−4)|, это расстояние от x до −4. При x = −4 внутри модуля получается 0.
Циркуль отмеряет одинаковое расстояние в любую сторону. Присоска стоит в точке b, раствор равен a, и мел касается прямой ровно в двух точках: это и есть два корня уравнения |x − b| = a.